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O起始的射线或者完全在角内，或者完全在角外；一条完全在角内的射线与线段HK有交点。若A是一个区域的一点，而且B是另一个区域的一点，则每一条连接A和B的折线段或者通过点O，或者和h或至少有一点交点；反之，若A和A'是同一个区域的两点，则恒有一条连接A和A'的折线，它既不通过点O，又和h和k无交点。

角与角之间有一定的相互关系，我们用“合同”或“相等”这个词来表示它。

V1（度量公理或阿基米德公理）若AB和CD是任意两线段，则必存在一个数n使得沿A到B的射线上，自A作首尾相接的n个线段CD，必将越过B点。

V2（直线完备公理）一直线上的，点集连同其顺序关系与合同关系不可能再这样地扩充，使得这直线上原来元素之间所具有的关系，从公理I一Ⅲ所推出的直线顺序与合同的基本性质以及公理V1都仍旧保持。

§10

平行公理的独立性（非欧几里得几何）①

我们知道了公理有相容性之后，另一个有趣的问题是研究它们全体是否互相独立。实际上，我们的五组公理的每一个组成部分，都不能够是在它之前的诸组的逻辑推论。

首先，前三组公理中的个别公理，我们很容易证明：同一组中的诸公理基本上是互相独立的。

在我们的叙述中，第一组公理和第二组公理是其余的公理所根据的。所以我们还只要进而证明：第三组、第四组和第五组中的每一组公理都与其余的公理互相独立。

平行公理V和其他公理互相独立；这可以按熟知的方式最简单地证明如下：在§9中所建立的通常的（笛卡儿）几何中，取一固定的球，并考虑使这个球不变的所有的一次变换，用这几何里所有在这个球以内的点和在这个球以内的那部分的直线和平面，而且只限于这些，当做一种空间几何的元素。并通过上述一次变换来定义这种几何的合同关系。我们知道，再加上适当的规定之后，这“非欧几里得”几何里，除去欧几里得公理V之外，其他全体公理都满足了，既然§9中的通常的几何已经证明了是可能的，所以这种非欧几里得几何也是可能的8】。

有些定理特别有趣，它们不依赖平行公理，也就是说，它们在欧几里得几何和非欧几里得几何里都成立，最重要的例子是勒让德（Legendre）的两条定理。第一条的证明，除去公理I~Ⅲ之外，还需要公理V，我们先证明一些辅助定理。

定理33已知一个直角三角形OPZ，角P是直角，若X，Y是线段PZ上的两点，使（图30）

从此以后，几何进一步的构造，能够遵照解析几何中通常所采用的方法来进行。

迄今为止，本章中都没有用阿基米德公理；现在我们假设这公理成立，那么空间中任意一条直线上的点，我们都能指定实数和它们对应。方法如下：

先在这直线上任意选取两个点，指定0和1这两个数和它们对应；然后二等分由这两点所决定的线段01，指定？和这样得到的中点对应，再指定4和线段02的中点对应；继续这种方法”次之后，就得到一个点，和它对应的数是2。现在再迁移线段0二到0点处，既迁移到O的1所在的一侧，又迁移到另一侧；迁移一次之后又一次，继续m次，这样得到的两点我们分别指定兴及一和它们对应。从阿基米德公理很容易地得到下述结论：根据这种对应办法，这直线上的每一点有一个唯一确定的实数和它对应，而且这种对应具有下述性质：若是A，B，C是这直线上任意三点，α，B，y是分别和它们对应的实数，而且B在A和C之间，这三个实数恒适合不等式a《B《Y或a》B》Y。

从第二章§9的讨论可知，给定了那里的代数数域Q中的每一个数，这直线上必然有一个点存在，使这个数和这个点对应。至于每一个其他的实数是否也和一个点对应，那就决定于在我们的几何中完备公理V2是否成立。

另一方面，若一种几何里，只假定阿基米德公理成立，就恒能够在原有的点，直线和平面之外，增加“无理”元素，使扩充后的几何具有下述的性质：给定了任意一组适合直线的方程的三个实数，这直线上恒有一点和这组实数对应。若是采用了适当的规约，同时还能使公理I一V在扩充后的几何里全体成立。这扩充后（增加无理元素后）的几何就和通常的空间的笛卡儿解析几何毫无差别，而且完备公理V，在这种几何里成立①。

个锐角α，而且在负半平面上的射线k的延长线'和轴的正向作成一个角β，使得下列关系

tgβ/tgα=2

在笛卡儿几何中成立。

即便在由笛卡儿几何中的两条射线所表出的那些直线上，点的顺序和线段的长度也可同通常一样地很显然地规定出来。容易知道，公理I1~3，Ⅱ，Ⅲ~3，V·在这样规定的几何中成立6；例如立即可以看出，通过一点的诸直线不重复地盖满平面。此外，在这几何中公理V也成立。

若一个角没有具有下述性质的一条边：从轴出发到正半平面而且和轴的正向作成一个锐角，这个角就如同通常在笛卡儿几何中【】一样来度量，否则，若一个角ω至少有一条边是一条具有上述性质的射线h，则用相当的'替代h（参看图64）作边，便得到另一个角w'；然后规定笛卡儿几何中角ω'的量作为新几何中角ω的量。图65说明这样定义的两对邻补角。根据角的定义，公理Ⅲ4也成立；特别是对于每一个∠（l，m）：

∠（l，m）=∠（m，l）

另一方面，如从图66立刻可以看出，而且容易用计算来证实的，在这个新的平面几何中德沙格定理不成立。同样的容易作一个图，表明巴斯噶定理也不成立。

定理62

设一种平面几何中，公理I1~3，Ⅱ，Ⅳ·都满足，而且巴斯噶定理正确。这几何中的每一条纯粹的交点定理，可以通过作适当的辅助点和辅助直线，表为有限个巴斯噶构形的组合。

于是，利用巴斯噶定理，交点定理的证明就不需要再求助于合同公理和连续公理。

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